بررسي درهم تنيدگي اتم و فوتون با رهيافت مدل 94

 چکیده

در سالهای اخیر کاربردی از مکانیک کوانتومی که نظریه اطلاعات کوانتومی نامیده می شود، توجه بسیاری را به خود جلب کرده است. درهم تنیدگی کوانتومی نقش اساسی را در بیشتر پروتکل های مربوط به اطلاعات کوانتومی بازی می کند. از این رو دانستن این که آیا سیستم درهم تنیده است یا خیر، یا میزان درهم تنیدگی چقدر است، اهمیت فراوانی دارد.

در این رساله میزان درهم تنیدگی برای هر کدام از سیستم های اتم- فوتون و زوج کوبیت، با استفاده از معیار های مختلف از قبیل آنتروپی فون- نیومان، تلاقی،منفی بودن و اطلاعات فیشر اندازه گیری شده اند و میزان قدرت اندازه گیری هر معیار مورد سنجش قرار گرفته است.

به سبب اهمیتی که اندرکنش اتم و فوتون در اپتیک کوانتومی دارد و از آنجایی که تاکنون، بهترین مدل برای توصیف این اندرکنش، مدل جینز-کامینگز شناخته شده است به بررسی این مدل پرداخته ایم. قبلا مدل جینز-کامینگز با استفاده از تقریب موج چرخان حل شده است. در این رساله، حل جدیدی از این مدل بدون استفاده از تقریب موج چرخان ارائه شده است و درهم تنیدگی سیستم اتم-فوتون نیز تحت هامیلتونی جینز- کامینگز، بدون استفاده از تقریب موج چرخان اندازه گیری شده و نشان داده شده است که برای ضرایب همبستگی کوچک می توان از تقریب مذکور استفاده کرد در حالیکه با افزایش مقدار ضریب همبستگی، نمودارهای با تقریب موج چرخان تفاوت معنا داری را با نمودارهای بدون این تقریب نشان می دهند. همچنین پدیده ی مرگ ناگهانی درهم تنیدگی در مورد سیستم زوج کوبیت مورد بررسی قرار گرفته و میزان درهم تنیدگی این سیستم با معیار های مختلف اندازه گیری شده است.

روش ها: برای محاسبات و رسم نمودارها از نرم افزارهای Maple و Matlab استفاده شده است.

کلمات کلیدی: مدل جینز- کامینگز، درهم تنیدگی، تقریب موج چرخان،کیوبیت

فهرست مطالب

فصل اول1

مقدمه ای بر درهم تنیدگی1

1-1 مقدمه2

1-2 اطلاعات کلاسیک6

1-3 اطلاعات کوانتومی8

1-4 درهم تنیدگی10

1-5 ماتریس چگالی11

1-6 ماتریس چگالی و درهم تنیدگی13

1-7 آزمایش EPR16

1-8 نامساوی بل18

1-9 متغیرهای گسسته و پیوسته19

فصل دوم21

جداپذیری21

2-1 مقدمه22

2-2 تجزیه اشمیت23

2-3 آنتروپی فون- نویمان24

2-4 معیار بل26

2-5 معیار آلفا – آنتروپی27

2-6 ترانهاده جزئی28

2-7در هم تنیدگی تشکیل30

2-8 منفی بودن 32

2-9 اطلاعات فیشر34

فصل سوم36

برهم کنش اتم و میدان36

3-1 مقدمه37

3-2 میدان همدوس38

3-3 میدان گربه ای شرودینگر41

3-4 حالات فشرده42

3-5 جفت شدگی46

3-6 اندر کنش سیستم دو ترازی با میدان کلاسیکی49

3-7 اندر کنش اتم دو ترازی با میدان کوانتیده (مدل جینز – کامینگز)54

3-8 تحول زمانی سیستم (اتم – فوتون) با تقریب موج چرخان61

3-9 تحول زمانی سیستم زوج کوبیت64

فصل چهارم70

مدل جینز-کامینگز بدونتقریب موج چرخان و اندازه گیری درهم تنیدگی70

4-1 مقدمه71

4-2 مدل جینز-کامینگز بدون تقریب موج چرخان72

4-3 تحول زمانی سیستم (اتم-فوتون) بدون تقریب موج چرخان77

4-4 در هم تنیدگی اتم – فوتون80

4-5 درهم تنیدگی زوج کوبیت88

4-11 پیشنهادات برای آینده98

 فهرست شکلها

شکل (1-1) سیستم متشکل از دو بخش A و B12

شکل (3-1) عدم قطعیت حالات همدوس در فضای فاز40

شکل (3-2) عدم قطعیت حالت فشرده در فضای فاز44

شکل (3-3) بررسی احتمال تحریک کامل اتم ها از حالت پایه برای مقادیر متفاوت 53

شکل(3-4) نمایش ترازهای انرژی56

شکل (3-5) تغییرات تابع وارونی جمعیت بر حسب زمان60

شکل (3-6) طرحواره ای از سیستم زوج کوبیت65

شکل (4-1) مقایسه انرژی های GSحاصل از FOD (دایره های توپر)، GRWA (منحنی خط) و ED (دایره های توخالی) بر حسب 74

شکل (4-2) نمودار انرژیGS نسبت به g برای . 76

الف5/0 ب) 1 پ)5/176

شکل (4-3) آنتروپی فون-نیومان برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز بدون RWA با g = الف)01/0 ب) 1/0 پ)183

شکل (4-4) آنتروپی فون-نیومان برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز با RWA باg
= الف)01/0 ب) 1/0 پ)184

شکل (4-5) وارونی جمعیت ترازهای اتمی برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز بدون RWA با85

g = الف)01/0 ب) 1/0 پ)185

شکل (4-6) وارونی جمعیت ترازهای اتمی برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز باRWA با86

g = الف)01/0 ب) 1/0 پ)186

شکل (4-7) مقایسه آنتروپی فون نیومن برای مدل با R W A ---- و بدون R W A___ بر حسب زمان با g= 01/087

شکل (4-8) مقایسه وارونی جمعیت ترازهای اتمی برای مدل با R W A --- و بدون R W A___ بر حسب زمان با g= 01/0 87

شکل(4-9) معیار تلاقی بر حسب برای هر یک از توابع موج اولیه نشان داده شده93

شکل(4-10) معیار تلاقی بر حسب برای هر یک از توابع موج اولیه نشان داده شده الف و ب) . پ و ت) 94

شکل(4-12) معیار فیشر بر حسب برای هر یک از توابع موج اولیه نشان داده شد96

 فهرست علائم و اختصارات (Abreviations)

  Einstein, Podolsky, Rosen paradox

	EPR
Fisher Information	FI
Rotating Wave Approximation	RWA
Entanglement Sudden Death	ESD
First-Order Approximation	FOD
Generalized Rotating Wave Approximation	GRWA
Exact Diagonalization	ED
Jaynes-Cummings Model	JCM
Ground State	GS

 فصل اول

مقدمه ای بر درهم تنیدگی

  1-1 مقدمه

 وقتی از درهم تنیدگی کوانتومی سخن می گوییم، شاید شگفتی های دنیای فیزیک برایمان نمایان می شود. بعنوان مثال منظور از درهم تنیدگی کوانتومی”دو ذره فوتونی ” است که هرگز در یک زمان وجود نداشته اند” اما امکان برقراری ارتباط با یکدیگر را دارند. یعنی “ارتباط دو ذره فوتون از ورای زمان” یعنی مدتی پس از نابودی اولی، دومی به وجود آمده و هرگز همزمان در دنیا نبوده اند. اما داستان چیست؟

در هم تنیدگی کوانتومی یک پدیده قدیمی و رازآلود با این معنا است که برخی ذرات، مثل ذرات فوتون ها و الکترون ها، می توانند “یک بار” بر یکدیگر اثر متقابل بگذارند ولی همچنان حتی پس از جدایی، کیفیت هایی نظیر چرخش یا قطبی شدگی شان مشترک باشد و “با تغییر حالت یکی، دیگری نیز تغییر کند.”در مکانیک کوانتومی، درهم‌تنیدگی یکی از رفتارهای عجیب ذرات است که در آن قوانین فیزیک کلاسیک شکسته می‌شوند و رویدادهای ناممکن به وقوع می‌پیوندند. درهم‌تنیدگی که اینشتین از آن با عنوان “عمل شبح‌وار در یک فاصله” یاد می‌کند، پدیده‌یی است که در آن دو ذره به عنوان یک سیستم عمل می‌کنند حتی هنگامی که توسط فواصل عظیم از هم جدا شده باشند.

اما داستان درهم تنیدگی در سال ۱۹۳۵ میلادی شروع شد، زمانی که نکته فوق العاده عجیبی در مورد نظریه کوانتومی توجه آلبرت اینشتین را جلب کرد، نکته ای که چند سالی از فرمول بندی نوین نظریه کوانتومی می گذشت همچنان از نگاه تیزبین فیزیکدان ها پوشیده مانده بود. اینشتین دریافت که براساس نظریه کوانتومی باید مابین ذراتی که حداقل یکبار با یکدیگر برهم کنش
داشته اند، نوعی ارتباط اسرارآمیز درونی برقرار شود، به گونه ای که اگر ویژگی های کوانتومی یکی از این ذرات را تغییر دهیم، مابقی آنها صرف نظر از اینکه در چه فاصله ای از ذره اول قرار گرفته اند و مثلا یک متر با ذره مزبور فاصله دارند یا یک میلیارد سال نوری- بلافاصله و بطور آنی از این تغییر ، تاثیر می پذیرد!

این پیش بینی نظریه کوانتومی به حدی عجیب و غریب بود که حتی خود اینشتین هم که از بنیان گذاران فیزیک کوانتومی بود به هیچ وجه نتوانست بپذیرد و آن را ناشی از ناکامل بودن نظریه کوانتومی می دانست چرا که او معتقد بود اساسا هیچ کنش و ارتباطی مابین ذرات جهان نمی توانست با سرعتی بیش از سرعت نور برقرار شود. به همین دلیل هم اینشتین در همان سال مقاله مشترکی با دو فیزیکدان دیگر به نام های بوریس پودولسکی و ناتان روزن منتشر کرد و در آن مقاله ضمن اعلام نظر خود مبنی بر وجود مشکل در نظریه کوانتومی، نظریه دیگری بنام « نظریه متغیرهای نهانی موضعی» بعنوان جایگزین نظریه کوانتومی ارائه داد. این نظریه به گونه ای تدیون شده بود که تمامی پیش بینی های نظریه کوانتومی را عینا البته بدون در نظر گرفتن رابطه آنی و لحظه ای بین ذرات ، نتیجه می داد.

اما براستی کدامیک از این دو نظریه قابل پذیرش بودند؟ نظریه مطرح شده در مقاله مشترک اینشتین- پودولسکی – روزن که بطور مخفف مقاله EPR نامیده می شود یا نظریه کوانتومی- که اروین شرودینگر ، فیزیکدان برجسته اتریشی اصطلاحا آن را « در هم تنیدگی کوانتومی» نامیده بود- دلالت داشت؟ در این مطالعه، پارادوکس EPR فرموله شد، آزمایشی فکری که در تلاش بود ناکامل بودن تئوری مکانیک کوانتومی را نشان دهد. در این مقاله آمده بود:”بنابراین ما مجبوریم چنین نتیجه گیری کنیم که توصیف مکانیک کوانتومی از واقعیت فیزیکی توابع موج، غیرکامل می باشد.”

با این حال نه تنها واژه درهم تنیدگی توسط این سه دانشمند ساخته و پیشنهاد نشده بود بلکه ایشان خواص ویژه این وضعیت را نیز تعمیم نداده بودند. پس از انتشار مقاله EPR، اروین شرودینگر برای نخستین بار در نامه‌ای که برای اینشتین می نویسد از واژه درهم‌تنیدگی برای توصیف بستگی دو ذره که موقتا با یکدیگر در اندرکنش بوده و سپس جدا شده اند استفاده کرد. شرودینگر اهمیت EPRرا در آن میدید که انحراف مکانیک کوانتومی از موازین ذهن کلاسیک نشان می داد. وی همچون اینشتین با مفهوم درهم تنیدگی مخالف بود چرا که آشکارا نظریه نسبیت را که در آن سرعت نور، بیشینه سرعت انتقال اطلاعات بود را به چالش می کشید. اینشتین بعدها درهم تنیدگی را تاثیر از فاصله شبح وار نامید و به این ترتیب آن را به سخره گرفت.

کلید پاسخ این سوال مهم را یک فیزیکدان ایرلندی به نام جان بل در سال ۱۹۶۴ میلادی پیدا کرد. جان بل توانست رابطه ای ریاضی را که بعدها به نام « نامساوی بل » شهرت یافت، پیدا کند. که می توانست مابین پیش بینی های این دو نظریه رقیب یعنی نظریه کوانتومی و نظریه متغیرهای نهانی موضعی را در آزمایشات خاصی نشان دهد. براین اساس اگر فیزیکدان ها موفق می شدند در آزمایشات خود، نقض نامساوی بل را مشاهده کنند، این به معنای صحت نظریه کوانتومی و وجود پدید اسرار آمیز در هم تنیدگی کوانتومی بود و در غیر این صورت، حق با اینشتین بود و هیچ ارتباطی با سرعتی فراتر از سرعت نور مابین ذرات وجود نداشت.

این مناقشه طولانی سرانجام در سال ۱۹۷۲ با پیروزی نظریه کوانتومی به پایان رسید. در این سال، دو فیزیکدان به نامهای استوارت فریدمن و جان کلاورز در دانشگاه برکلی آمریکا موفق شدند با اندازه گیری قطبش فوتون هایی که قبلا با یکدیگر برهم کنش داشته اند، نقض نامساوی بل و در نتیجه وجود پدیده اسرارآمیز در هم تنیدگی کوانتومی برای اولین بار به طور تجربی مشاهده کنند. ده سال بعد از آزمایش فریدمن – کلاورز، در سال ۱۹۸۲ یک فیزیکدان فرانسوی بنام آلن اسپکت با افزایش دقت این آزمایش، وجود پدیده در هم تنیدگی کوانتومی را باز هم با قطعیت بالاتری تایید کرد. در سال ۲۰۰۸ نیز فیزکدانان دانشگاه ژنو در سوئیس به رهبری نیکولاس گیسین با انجام آزمایشی توانستند صراحتا نشان دهند که ارتباط مابین ذرات در هم تنیده حداقل با سرعتی ده هزار برابر سریعتر از سرعت نور صورت می گیرد!

اما شگفتی های پدیده در هم تنیدگی کوانتومی به همین جا ختم نمی شود چرا که برخی فیزیکدان ها معتقدند که این ارتباط آنی و درونی اسرارآمیز نه تنها در فواصل مکانی بلکه در بعد مکان بلکه حتی مابین لحظات مختلف در بعد زمان هم مابین گذشته و آینده عمل می کند و این به معنای ارتباط آنی دو لحظه مختلف زمانی با همدیگر است! علاوه بر این، امروزه فیزکدان ها حتی کاربردهای حیرت انگیز متعددی را نیز برای این پدیده اسرارآمیز پیدا کرده اند، کاربردهای نظیر مخابرات کوانتومی، کامپیوترهای فوق سریع کوانتومی ، رمز نگاری غیر قابل نفوذ کوانتومی و غیره… کابردهایی که براساس پدیده حیرت انگیز در هم تنیدگی کوانتومی، فناوری بشر را در قرن بیست و یکم دگرگون خواهد کرد.

در هم تنیدگی پدیده ای است که منحصرا در دنیای کوانتوم وجود داشته و به نظر می رسد در فضای ماکروسکوپی اتفاق نمی افتد قبل از پرداختن به مفهوم انواع و کاربردهای در هم تنیدگی ابتدا نظریه اطلاعات کوانتومی را مورد بررسی قرار می دهیم که رابطه ای نزدیک با درهم تنیدگیدارد.مفهوم اطلاعات در هاله ای از ابهام است و تعریف واحدی از آن ارائه نشده است، برای روشن سازی این مطالب چند ویژگی اطلاعات را بیان می کنیم.[1]

1-اطلاعات دانش ذخیره شده است، بستر این ذخیره سازی ممکن است کتاب، مجله و سایر ظرفیت های سنتی یا یک رسانه الکترونیکی باشد.

2- اطلاعات از پدیده های اطراف بدست می آید که پس از دریافت و تفسیر معنی پیدا می کند و آن پدیده ها الزاما برای انتقال پیام به وجود نیامده بودند.

3- مفهوم اطلاعات تابع عوامل متعددی نظیر زمان، مکان و شخص دریافت کننده می باشد. یک مفهوم در یک زمان خاص اطلاعاتی که به ما می دهد ممکن است با زمان دیگر فرق داشته باشد، همچنین تغییر در مکان نیز ارزش اطلاعات را کم و بیش می کند. یک ضرب ساده ریاضی اطلاعاتی را که به یک دانش آموز منتقل می کند بیشتر از اطلاعاتی است که به یک دانشجوی ریاضی می دهد.

4- اطلاعات را فرستنده در محمل پیام برای گیرنده می فرستد و گیرنده باید آن را طوری که نیت فرستنده می بوده است، تفسیر کند تا ارزش واقعی اطلاعات مشخص شود.

5- گسترش اطلاعات و اشاعه آن بین افراد مختلف از میزان آن نمی کاهد بلکه آن را افزون
می کند، لذا اطلاعات، عنصری فعال و رو به رشد است.

توضیحات بالا اطلاعات را به صورت عام مورد بررسی قرار داد، اما آن چیزی که در فیزیک به نام نظریه ی اطلاعات مطرح می شود عبارت است از نظریه ی اطلاعات که شامل دو نوع اطلاعات کلاسیک و کوانتومی می شود.

 

1-2 اطلاعات کلاسیک

فرض کنید که یک متغیر تصادفی با احتمالات
باشد. تابعی که به شکل زیر تعریف می شود را در نظر می گیریم

 (1-1)

اساس نظریه اطلاعات کلاسیک بر روی این تابع که تابع آنتروپی می نامند استوار است، اما چرا تابعی به این شکل را معیار مناسبی برای اطلاعات در نظر می گیریم؟

فرض کنید که آزمایش یا واقعه ای مثلکه نتایج یا پیشامد های ممکن آن را با مجموعه نشان می دهیم، اتفاق بیفتد و کسی نتیجه این واقعه را به ما بگوید، مثلا بگوید پیشامد رخ داده است در این صورت می توان پرسید که آن شخص چه مقدار به ما اطلاع داده است و چه مقدار از بی اطلاعی ما کاسته است. از نظر شهودی، هر چقدر پیشامدی که به وقوع پیوسته است محتمل تر بوده باشد، اطلاعی که ما کسب کرده ایم کمتر خواهد بود؛ بنابراین اگر میزان اطلاع خود از وقوع پیشامد را با نشان دهیم می توانیم بگوییم که می بایست نسبت معکوس با احتمال وقوع آن پیشامد یعنی داشته باشد.

حال فرض کنید که یک آزمایش مرکب از دو واقعه مستقل باشد، که نتایح ممکن آن را با زوج های نشان می دهیم. هر گاه احتمال وقوع را با و احتمال وقوع را با نشان دهیم، احتمال هر پیشامد برابر خواهد بود با و میزان اطلاعی که از وقوع این پیشامد کسب می کنیم برابر خواهد بود با . انتظار داریم که میزان اطلاع ما در این مورد که دو پیشامد مستقل رخ داده اند برابر با مجموع اطلاعاتی باشد که از وقوع پیشامد به تنهایی و به تنهایی کسب می کنیم بنابراین انتظار داریم که

(1-2)

تنها تابعی که شرط فوق را برآورده کند و ضمنا نزولی باشد تابع لگاریتم است، بنابراین خواهیم داشت

(1-3)

که در آن ثابت است. ثابت را می توان با شرط بهنجارش تعیین کرد. با این فرض که میزان اطلاع کسب شده ما از وقوع یک پدیده دو حالته متساوی الاحتمال برابر با یک باشد یعنی ، در نتیجه ثابت برابر با 2 می شود.اگر یک آزمایش را بار انجام دهیم به طور متوسط بار نتیجه رخ خواهد داد و میزان اطلاعی که در هر بار کسب می کنیم برابر خواهد بود با . میزان اطلاعی که ما به طور متوسط از وقوع نتایج آزمایش تصادفی کسب می کنیم برابر خواهد بود با

(1-4)

این تابع، تابع آنتروپی یا تابع شانون[2] نیز خوانده می شود، این تابع در فاصله یک تابع مثبت است، بنابراین یک تابع مثبت است.

اگر چه مشابهت های جدی بین نظریه اطلاعات کلاسیک و کوانتومی وجود دارد، ولی بدیهی است که تفاوت های مهم و اساسی بین ایندونظریه وجود دارد. در نظریه اطلاعات کوانتومی، به سوالاتی نظیر این که چگونه می توان اطلاعات را اندازه گرفت؟ اطلاعات موجود در یک حالت کوانتومی چقدر است؟ تا چه حد می توان این اطلاعات را فشرده سازی کرد؟ پاسخ داده می شود.[3]

 [1] M. McCredie, R. E. Rice, “Trends in Analyzing Access to information. Part: cross disciplinarily conceptualizations of access”, information proceeding and management, vol. 35, pp. 45-76, 1999.

[2]Shannon

[3] M. A. Nielson, I. L Chuang, “Quantum computation and Quantum information”, Cambridge university Press, Cambridge, (2000).